五行生剋的網路原理
與代數運算
楊憲東 著
國立成功大學航太系教授
成大出版社
序言
我從一張無人機編隊飛行的草圖溯源二千多年前的五行生剋圖，發現了五行學說的網路科學意義，並用現代數學的語言詮釋了科學意義下的五行生剋運作原理。這本書就是我的五行生剋圖溯源之旅的全紀錄，包含去程的歷史溯源之旅(上篇)、回程的科學詮釋之旅(中篇)以及後記(下篇)。
木生火，火生土，土生金，金生水，水生木，木又生火；木剋土，土剋水，水剋火，火剋金，金剋木，木又剋土。這是大家耳熟能詳的五行相生、相剋循環規律，它在中國傳統文化中至少已流傳了二千多年，如今廣泛性地被應用到醫、卜、星、相、武術等各個傳統知識領域之中。令人好奇的是甚麼原因讓這樣的生剋規律可以流傳久遠而歷久不衰?難道它的背後存在著不為人知的科學內涵?
五行思想出身於《尚書
回想起來，引領我進入五行思想研究的源頭是航太領域裡面的一個課題:無人機的編隊飛行，這個源頭看似與五行無關，但是牽引的力量隨著我的深入探索越來越強，最後引領我到了一個完全陌生的園地。現在的無人機編隊飛行已經相當普遍了，經常出現在一些重要慶典，以空中飛舞的燈光秀呈現慶典的圖騰與主題。二十年前的無人機還不普遍，但在學術上那時已經開始在研究如何讓多架無人機能夠協同一致地飛行。當時在國際間類似的研究還有多部自駕車的同時指揮問題，多部機器人的集體運動問題等等。這些問題都有一個共同的特徵，就是許多個能夠自主運動的單元組成了一個共同的網路結構，然後透過單元彼此之間的協調與控制，呈現網路的集體運動行為。這樣的網路結構通稱為多代理人網路系統(Multi-Agent Network Systems)，其中的網路代理人可以是無人機、自駕車、機器人，甚至可以是鳥類，因為無人機的編隊飛行最早就是仿效候鳥的群體飛行而來。正是這個在1990年代才開始發展的多代理人網路理論，牽引我回到二千多年前的五行學說，讓我揭開蒙塵已久的歷史面紗，有緣看到了五行學說的真正面貌。
多代理人網路系統所要研究的對象不是個別代理人的內部特性，它不是在研究無人機的零件組成，也不是在研究鳥類翅膀的拍動機制，而是在研究代理人與代理人之間的溝通協調機制，如何使得整個網路系統呈現預期的集體行為。所以多代理人網路系統的研究重心是在探討代理人之間的合作機制，如何影響網路共識協定的達成。隨著網路的快速發展，研究人員發現代理人之間的關係不見得全都是互相合作的，有些代理人之間存在著對抗的關係。例如社群網路的關係就不全然是正面、友好的，群體之間的互動經常會因意見的分歧而產生衝突。兩黨政治中的代議士(民眾在議會中的代理人)具體呈現了多代理人網路系統中既合作又對抗的雙邊關係。同黨的代議士彼此互相合作，不同黨的代議士彼此互相對抗，整個議會就是運作在這種合作與對抗共存的關係中。
我在研究無人機編隊飛行時也遇到了相同的問題。如果所有無人機之間都保持著合作的關係(亦即都是友機)，那麼要呈現集體編隊飛行是容易的，但是如果在眾多無人機中出現了幾架敵機，在友機與敵機同時出現的時候，要保持編隊飛行就變得困難。因為敵機傾向於脫離包夾，遠離機群，而友機則傾向於融入機群。在這二種相反力量的對抗下，最後無人機是各自紛飛了呢?還是維持編隊飛行?要分析這個問題在數學上需要借助圖論(附錄A)的工具，圖論將無人機視為多邊形上的一個頂點，頂點與頂點之間若有直線連接，代表二架無人機之間是有連通的。如果在直線上加註一個加號，代表這二架無人機是合作型的連通，是屬於友機的關係；如果在直線上加註一個減號，代表無人機是對抗型的連通，是屬於敵機的關係。
當時在我的實驗室中剛好有五架無人機，我就直接拿來分析它們之間可能的合作與對抗關係。根據圖論先將五架無人機擺在正五邊形的五個頂點之上，然後將各個頂點連接起來，並將連接線加註加號或減號，用以標示合作或對抗的關係。在連結頂點的過程中，我發現二個頂點之間的連結線只有二種型式:不是五邊形的邊，就是五邊形的對角線，參見圖0.1a。所以若要將所有連接線分成合作與對抗二種類型，最合理的分類方式就是連接線屬於邊長的分成一類，連接線屬於對角線的分成另一類。但是在這二類中，合作與對抗的關係又要如何標示呢?考慮到由五邊形的邊所連結的頂點必定左右相鄰，此時二個代理人為鄰居，故適合組成合作的關係；而由五邊形的對角線所連結的二個頂點，其中間必被另一個頂點隔開，此時二個代理人處於分離的狀態，故適合組成對抗的關係。這樣依循圖論的建構，最後我畫出五架無人機之間的合作與對抗關係的草圖，它的樣子就像圖0.1a。
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歷史溯源 |
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科學詮釋 |
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(a)五代理人網路連通圖 |
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(b)五行相生相剋圖 |
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合作 |
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合作 |
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對抗 |
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合作 |
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合作 |
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合作 |
圖0.1 由五代理人網路連通圖(a)溯源到古代的五行相生相剋圖(b)。五個代理人A、B、C、D、E(五架無人機)分居正五邊形上的五個頂點，分別對應到木、火、土、金、水五行。正五邊形中以邊長連接的頂點具有合作的關係，對應到五行圖中的相生關係。正五邊形中以對角線連接的頂點具有對抗的關係，對應到五行圖中的相剋關係。
就是這張無人機編隊飛行的草圖將我牽引到二千多年前的五行生剋圖。這二張圖的高度相似性引起了我的好奇心，難道這只是單純繪圖上的巧合，還是二張圖之間果真有關係存在?首先我追查了繪製五行生剋圖的最原始根據，幾乎所有文獻均指向董仲舒在《春秋繁露》中提到的『比相生、間相勝』的五行生剋法則，這六字法則統攝了五行生剋的規律，亦即五行之中，相鄰者相生，相間隔者相剋。令人驚訝的是，這六個字所述說的規律正是我在繪製無人機編隊飛行草圖時所依據的原則:相鄰的無人機互相合作，相間隔的無人機互相對抗。至此我確認了圖0.1中二個年代相隔久遠的圖，它們的繪製竟然是根據相同的原則而來。這個確認正式啟動了我對五行學說的溯源之旅，於是五架無人機按照著編隊飛行草圖起飛了，它們沿著時空軌跡逆向回到二千多年前，空拍搜索編隊飛行草圖的最古老版本:五行生剋圖。
這本書就是我的五行學說溯源之旅的全紀錄，這個溯源之旅是雙向的，有去程、有回程，也有後記。本書的《上篇:五行的本質是五代理人網路系統》是去程的紀錄，描述了五架無人機空拍搜索所看到的五行學說新面貌:五代理人網路系統。本書的《中篇:五行生剋的量化與代數運算》是回程的紀錄，是我溯源回來體會了五行學說的新意義後，反過來用現代數學的語言(線性代數)詮釋五行生剋的運作原理。本書的《下篇:五行代數的科學與人文應用》是溯源之旅的後記，分析了代數化五行所具有的科學意義，並探討在這個科學意義下，如何運用生剋運算分析春秋五霸與戰國七雄的局勢變化，如何整合五行學說與陰陽學說，以及如何進行五行學說的擴展。
本書的《上篇:五行的本質是五代理人網路系統》主要在於調查五行所扮演的角色。在圖0.1中，五代理人網路連通圖中的代理人A、B、C、D、E，可以有無數個分身，而無人機、自駕車、機器人只是其中的幾種分身。如果圖0.1中的左右二個子圖是完全等義的話，那麼五行生剋圖中的五行也應該有無數個分身，而木、火、土、金、水只是其中一種分身。換句話說，如果五行生剋圖是最古老版本的五代理人網路連通圖，那麼五行應該是扮演著代理人的角色，而非傳統所認知的分類人角色。本書的上篇從五行思想的歷史演化過程中，查證五行確實曾經扮演過代理人的角色。原來五行在物質世界的代理人是木、火、土、金、水五種元素，五行在天上星辰的代理人是木、火、土、金、水五顆行星，五行在地上的代理人是春、夏、長夏、秋、冬五個季節，五行在人體內的代理人是肝、心、脾、肺、腎五個臟器。戰國時期的陰陽家鄒衍更將五行的代理人從自然界擴大到政治界，他的『五德終始說』認為五行在人間有對應的代理朝代，而且朝代是依五行相剋的順序輪流興替著。後來的董仲舒也提出類似的觀點，從而埋下五行學說的另一條可能發展路線:五行的代理人系統理論。但是這一條發展路線在秦漢以後逐漸被五行的分類人系統理論取代了。本書的上篇揭開五行的分類人表象，還原五行的代理人原始面貌。
《上篇》的第一章將當代的代理人網路系統與五行的代理人網路系統放在同一個平台上進行比較，分析其相同與相異之處。五行代理人之間有相生與相剋二種交互作用，相當於現代網路系統中的合作型與對抗型交互作用。雖然五行網路與現代網路都具備這二種交互作用，但是二種網路系統所要強調的重點不同。經由比較我發現，當代網路系統著重在同類成員之間的合作關係，以及不同類成員之間的對抗關係(例如兩黨政治中的代議士)，此即孔子所說的『同而不和』；而五行網路系統則著重在不同類成員之間的協調統一，亦即孔子所說的『和而不同』。五行代理人之間同時存在著合作(相生)與對抗(相剋)的交互作用，使得五行系統可以在不改變代理人各自特性的前提之下，達到系統『和』的境界。反之，對於現代網路系統而言，屬於同一族群的代理人之間由於只存在著合作型的交互作用，產生了同族群內代理人的同化效應，然而不同族群代理人之間卻只有對抗沒有合作的作用，導致整個系統無法達到『和』的境界。簡而言之，五行網路與現代網路的主要不同在於，前者主張求『和』去『同』，而後者主張求『同』去『和』。我進一步追查五行網路『求和去同』的思想源頭，發現最早是出自西周末年史伯關於『和實生物』的看法:『夫和實生物，同則不繼，以他平他謂之和，故能豐長而物歸之；若以同裨同，盡乃棄矣，故先王以土與金、木、火、水雜，以成百物』。『和實生物』的看法不管是從科學或哲學觀點來看，都是對於五行相生相剋內涵最精闢的解說。
《上篇》的第二章紀錄了我對五行思想歷史演化過程的調查，結論可歸納為六個字:先代理後分類。五行在做為代理人的階段是以木、火、土、金、水(五材)為標準模板，將五材的屬性與運作套用到各個領域，找到每個領域中與五材對應的五個代表性的成員，做為五材在該領域的代理人。接著五行在做為分類人的階段進一步將具有相同五材屬性的代理人歸類到同一族群，從而形成木、火、土、金、水五大族群，此即所謂的五『行』。秦漢以後的五行思想指的就是分類後的五大族群，這時已經幾乎看不到五行代理人的影子。自此五行被中國文人當作是萬物的分類標準，若能不被列於五行之中，即是超越了世間萬物。吳承恩在《西遊記》中描述孫悟空，說牠是『跳出三界外，不在五行中』。不在三界的範圍內，也不在五行的分類之中，即是指超越了有情眾生，處於物質世界之外。不只是孫悟空，文人筆下能夠『跳出三界外，不在五行中』的，定然都是英雄豪傑。
然而當我回溯五行思想『先代理後分類』的演化歷程後，隨即理解到將五行視為萬物的分類標準其實是一場千年的大誤會，因為五行所分類的木、火、土、金、水五大族群，其成員是來自五材在各領域的代理人，而非來自萬物。五行學說是以五材為模板，先在各個領域找到了五材的代理人之後，再對所有領域的代理人進行分類，將相同五材屬行的代理人放在同一族群之中。所以五行的分類是對五材代理人的分類，但長久以來卻被誤解為對萬物的分類。現代科學所批判的對象其實不是真正的五行學說，而是一個被誤解後的五行學說。二千年來，五行學說一直掛著萬物分類者的假面具，現代科學雖拆穿了這個假面具，然而卻沒有還原五行學說作為代理人的真實面貌。
中國不僅有象形文字也有象形關係，木、火、土、金、水五材之間的生剋關係就是中國最古老的象形關係。五行學說即是透過五材之間的象形關係，將其映射到所有領域中與五材對應的代理人，生動描繪出五行所代表的五大族群之間的相生與相剋作用。五材的象形關係是古人從生活經驗上所獲得的直覺圖象，是一種經驗法則。象形關係與象形文字一樣都歷經數千年的演化，在象形文字逐漸趨向規則化與符號化的今天，五材的象形關係卻在五行學說中被完整的保留了下來。用五材的象形關係來表達五行的生剋作用，結合了人們的日常生活經驗，這是五行能流傳千古的原因。但從另一方面來看，五材的象形關係缺乏進一步的規則化與符號化，也是五行學說未能與時俱進的主要原因。
《上篇》的第三章追溯了五行的二個實體代理人五材與五季(五時)如何建構出圖像式的五行生剋關係。利用實體系統表現生剋作用雖然有其便利性，但實體系統內部的生化結構也同時會限制了生剋作用的方向與強度，然而這些限制卻不是出自於五行學說的本身。例如歷代的中醫學者在臨床的診療過程中發現，人體五臟之間的作用是雙向性而非單向性，也就是生與反生同時存在。例如肝(木)會影響心(火)的運作，而反過來，心也會影響肝的運作。如果五行學說嚴格遵守五材或五季所展示的單向相生順序，將無法解釋中醫學者在五臟系統中所發現的『火反生木』現象。五材、五季與五臟都是五行的實體代理人，但是它們對於『反生』的預測卻完全不同，這一結果說明五行學說的建立不能單憑某一實體代理人的運作結果。任何實體系統都有其內在的先天限制，若藉由實體系統的運作去建立五行理論，則實體系統的內在限制就順理成章轉化成五行系統的內在限制。一個完整五行學說的建立必需獨立於任何實體系統之外，如此才能避免引入不必要的限制。當代的多代理人網路系統理論的建立正是遵循相同的原則，無人機、自駕車、機器人都是網路系統的實體代理人，但是網路理論的建立卻不能依靠這些實體代理人的運作特例，它必須將所有代理人當做是黑盒子(假設其內部特性完全未知)，然後再去建立黑盒子之間的合作與對抗關係。
在《上篇》的第四章中，我依據當代的多代理人網路系統理論建立了一個獨立於任何實體系統之外的五行生剋理論:五代理人網路系統理論。圖像式的五行生剋只含有正生與正剋二種作用，這是導致傳統五行生剋諸多矛盾與缺陷的原因。五代理人網路系統修正了圖像式五行生剋的缺失，在正生與正剋之外，另外加入了四個新元素:正生與正剋的反作用:反生與反剋，以及正生與正剋的副作用:副生與副剋。有關五行生剋的反作用與副作用在歷代文獻中其實已微露端睨，第四章透過五代理人網路系統的架構將五行生剋的正作用、反作用與副作用全部加以整合，而形成具有三生(正生、反生、副生)與三剋(正剋、反剋、副剋)的完整五行生剋理論。當五行之中有其一過度時，如何透過五行既有的生剋機制使之恢復平衡，歷代學者對於這個問題提出了許多不同的解決方案。然而這些所謂的五行生剋過度下的補救措施，其實都是畫蛇添足，因為完整考量三生三剋的五行系統其本身即是一個閉迴路的自動化控制系統，具有內建的回饋機制，能自動進行補償的動作，不需要介入任何的人為補救措施。本書的《中篇》以客觀的數學語言驗證了五行系統所具備的自動補償功能。
本書的《中篇:五行生剋的量化與代數運算》是五行生剋圖溯源之旅的回程紀錄。在去程的調查過程中，我已經確認了五行所扮演的代理人角色，並建立了一個獨立於任何實體系統之外的五行生剋理論:五代理人網路系統理論。在溯源之旅的回程，我將用數學的方法描述這個五代理人網路系統。首先在第五章中，我先將五行的生剋作用加以量化與符號化，得到了五行的符號與數量，接著在第六章進行五行生剋的代數運算，並以代數運算展示五行的生剋乘悔作用。傳統五行學說的缺點是缺乏定量的論述，無法表達出相生強度與相剋強度的程度差別，也無法給出相生與相剋發生的確切時機，同時對於五行生剋過度的補救措施都是基於直觀上的推定，缺乏數理邏輯上的支持。本書《中篇》對於五行生剋作用所建立的代數運算平台，可以做為一個驗證五行哲學思想的客觀平台，不管是支持或反對五行思想的論點，都可透過這個平台加以檢驗，讓數字直接說話。一個最顯著的例子就是關於相生與相剋作用互相抵消的問題。二千年來一個相當一致性的五行哲學觀點認為，相生與相剋的作用可以相抵，進而達到五行的平衡。但是令人意外的是，五行生剋代數運算的結果卻顯示生的強度若與剋的強度相等，生與剋其實無法相抵消；必須是生的強度大過剋的強度，而且二者的比值必須剛好等於黃金比例的平方時，生與剋才能完全相抵。若非借助五行的代數運算，我們實在無法得知黃金比例，
，這一神奇數字竟會出現在古老的五行思想中。第六章將會以數學證明並解釋為何黃金比例會出現在五行的生剋作用中，當然這離不開五行與正五邊形的關係，而黃金比例正巧是正五邊形中對角線長與邊長的比值。
五行代數運算的基本元素是五行向量與五行矩陣，《中篇》的第七章就是要以向量與矩陣的運算呈現五行生剋乘悔的哲學推理，讓數字顯示生剋強度的不同與變化，讓數字運算客觀表達出生剋混合作用後的結果。五行代數是五個代理人的量化指標，可用以表示代理人的數量、能量、強度大小、趨勢等級、運勢強弱指標等等。五行的代數運算就是這五個代表數字之間的加減乘除計算。五行的相生與相剋會隨著時間而推移，導致五行的代表數也會隨時間而變化。五行向量就是由這五個代表數所組成的向量，而五行矩陣是新、舊五行向量之間的關係矩陣，可用以預測一段時間以後的五行向量。透過線性代數的引入，五行向量的預測結果可用五行矩陣的特徵值(eigenvalue)與特徵向量(eigenvector)加以表示。五行代數運算規則的建立代表五行思想已可完全融入現代科學的框架中，允許五行理論的學術研究與五行思想在民間五術(山，醫，命，卜，相)的相關應用，都可運用電腦運算來進行。電腦運算就是讓數據說話，讓數據呈現五行生剋推論的結果。
五行代數組成五行向量，而五行向量又由五行矩陣所決定，所以整個五行生剋代數運算的核心就在五行矩陣。五行矩陣內含有
個元素，代表五個代理人之間的相互影響因子，這些影響因子會隨著五行系統的不同而變化，無法用學理的方法推導得到，而必須以實測或實驗的手段決定之。第七章介紹了五行矩陣內25個元素所具有的物理意義，以及如何用實驗的方法來決定它們。所述的實驗方法除了適用於學術性的討論外，也可用於民間五術的實務應用。實驗結果可用以決定五行矩陣內的25個元素，我們可從所得到的元素中，去判斷實驗的對象是否滿足五行網路的要求，最重要的是可利用所得到的五行矩陣去進行科學性的五行預測。
本書的《下篇:五行代數的科學與人文應用》是我的五行生剋圖溯源之旅的後記。當我完成五行網路的代數運算後，五行學說已褪下萬物分類理論的假面貌，還原成五代理人網路系統理論。在五代理人網路系統的架構下，五行學說已具備當代科學的共同語言，並可透過當代科學加以實現並檢驗之，此即《下篇》所關注的主題。當五行網路的代理人是人工智慧體(AI)時，它的相生關係代表了智慧體之間的合作交互作用，而它的相剋關係則代表智慧體之間的對抗交互作用。當五行的代理人是人類時，五行網路的科學實現即是當代的社群網路。五行網路的相生作用反應了人與人之間的朋友關係，而它的相剋作用反應了人與人之間的敵對關係。第八章討論了五行網路在現代社群網路中的實現，並分析當支持意見與敵對意見共存並立時，五行網路的靜態穩定性與動態穩定性。五行社群網路的進一步擴展即為國家與國家之間的關係，它生動反映了二千多年前春秋五霸之間的合作與對抗關係。第八章運用五行網路的代數運算還原了春秋五霸的對峙局勢。戰國七雄的局勢不是五行網路可以描述，因為它屬於七代理人網路系統。本書所根據的網路原理適用於多代理人網路系統，自然也包含七代理人網路系統。第八章最後以七代理人網路系統的生剋運算分析並驗證了戰國七雄的局勢變化。
第九章是以人工智慧體當作五行網路的代理人，討論了五行網路在電子電路與無人機編隊飛行中的實現。在電子電路的實現中，五行的相生關係用一般的電阻元件即可實現，但是相剋關係的實現卻需用到稀有的負電阻元件。一般的正電阻元件的電流是隨著二端電壓的增加而增加，但是負電阻元件的電流卻是隨著電壓的增加而減少。目前科學界還未研發出全域性的負電阻元件，只存在少數的區域性負電阻元件，例如共振隧道二極體(Resonant-Tunneling Diode, RTD)，它只在特定的電壓工作範圍內，才具有負電阻的特性。令人料想不到古老的五行生剋網路的電路實現會牽涉到負電阻元件的技術，而它已接近當代電子工藝的極限。
第九章的後半段討論了五行網路在無人機編隊飛行中的實現。當初我從一張無人機編隊飛行的草圖出發，追溯二千多年前的五行生剋圖，去程建立了五代理人網路系統，回程建立了五行生剋代數運算的平台，最後又回到無人機編隊飛行的起點。不過這時候我所擁有的不單是一張草圖，而是有能夠實現五行編隊飛行的硬體設備與軟體資訊。從無人機的自動控制系統來看，五行網路中的相生作用相當於負回饋控制，而相剋作用相當於正回饋控制。一般的控制系統均使用負回饋控制，如此才能縮小系統輸出與輸入指令之間的誤差，使得系統行為符合指令的要求；然而正回饋控制卻會造成反效果，它會擴大系統輸出與輸入指令之間的誤差，使得系統行為偏離指令的要求。五行編隊飛行牽涉到負回饋與正回饋的混合使用，當這二股相反的力量同時作用在無人機上時，如何確保無人機能編隊飛行，這是國際學術上未曾討論過的問題，同時也為無人機的編隊飛行研究帶來新的挑戰。
在中國傳統文化中，陰陽與五行是分不開的哲學思想，五代理人網路系統必須加入陰陽的元素才能完整反映中華文化的內涵，此即《下篇》第十章所要討論的主題。從數學的觀點看，對五行賦予陰陽的屬性就是五行代數的複數化，也就是將原先定義在實數體系的五代理人網路系統擴展到複數體系，讓五行的代表數有實部也有虛部。另一方面從中醫的觀點看，陽代表能量的氣化，是無形的，屬虛；陰代表物質的凝聚，是有形的，屬實。五行具有陰、陽二種屬性相當於五行的代表數具有實部與虛部之分，例如木行具有陰木與陽木兩種屬性，即是對應到木行代表數的實部與虛部。在五行的相生相剋過程中，每一行內的陰陽屬性互有消長，從而呈現類似太極圖內陰陽變化的規律。每一行的陰陽變化對應一個太極圖，因此五行彼此之間相生與相剋的全部過程就記錄在五個隨時間演化的太極圖之中。複數五行的數學建模相當於是將太極、陰陽與五行的哲學思想融合在一起，以定量化、數字化、視覺化的方式呈現出傳統文化的精隨。
在第十章中，我將《中篇》的代數五行加以複數化，而得到描述陰陽五行哲學思想的代數運算平台，有了這個代數平台，傳統陰陽五行學說就不單純是哲學思想了，它同時還具備了科學的分析方法與檢驗能力。例如原始五行中單純的木生火作用，在陰陽五行中卻變得複雜，因為木被分化成陽木與陰木，火被分化成陽火與陰火，此時木生火的作用變成有四種可能: 陽木生陽火、陽木生陰火、陰木生陽火、陰木生陰火。同樣地，木剋土的作用在陰陽五行中也變成有四種可能: 陽木剋陽土、陽木剋陰土、陰木剋陽土、陰木剋陰土。到底這四種可能的陰陽生剋作用中哪一種才正確，二千年來沒有標準答案，因為這純粹是不同哲學觀點的問題。然而在陰陽五行代數平台的運作下，我們可以經由數據的運算去判斷哪一種陰陽生剋作用才可能真正地發生。另外一個可以透過陰陽五行代數平台去分析的哲學問題是關於原始五行如何分化成陰陽五行，以及陰陽五行又如何經由陰陽合一回復到原始五行。在《下篇》的第十章中，我將以嚴謹的代數運算展示陰陽分化、陰陽轉換以及陰陽合一的循環過程。當完成這一章的寫作之後，我回顧這一趟意外的五行生剋圖溯源之旅，連我自己也無法意料最後竟然會衍生出這樣一個分析陰陽五行哲學的數學平台。
這一本關於五行生剋圖溯源之旅的全紀錄原本到這裡就結束了，但由於一個額外問題的考量，我又增補了《下篇》的最後一章《五行網路的擴展》。我所建立的五行代數運算平台雖然可以為傳統五行思想進行科學性的詮釋與檢驗，但從一個科學工作者來看，一個更重要的問題是，如果將傳統的五行網路放在當代的網路科學中來看，它的價值與實務應用在哪裡?經過前面幾章的分析後，我可以確定五行網路的價值在於它特有的生剋法則:『比相生，間相勝』，也就是相鄰的代理人互相合作，而相間隔的代理人互相對抗。這個生剋法則從二千多年前被提出後，直到現在仍然是獨一無二的網路運作規則。至於五行網路在賦予代數運算能力之後，它的實務應用在哪裡?除了在既有的醫、卜、星、相、武術等傳統知識領域的應用外，如果要將五行代數運算應用到現代科學與人文領域，我們將面臨五行網路的先天限制:網路代理人的數目只能允許剛好有五個，少於五個或多於五個都不行。本書第八章在探討戰國七雄的對戰局勢分析時，即碰到了戰國七雄不屬於五行系統的問題。為了解決五行網路應用所遇到的這個瓶頸，我寫下了本書的最後一章，探討如何將五行網路擴展到N行網路，而且仍保有『比相生，間相勝』的獨特五行生剋規則。
若將N個代理人放在正N邊形的N個頂點上，則與某一代理人A相鄰的代理人只有它左右二個鄰居，剩下的
個代理人都與A相間隔。因此不管N多少，相生關係的數目都是2，而相剋關係的數目為。當N逐漸增加時，相生關係的數目維持不變都是2，但相剋關係的數目卻越來越大，導致相剋的力量逐漸超過相生的力量，造成N行網路更不容易達到平衡。從N行網路來看，傳統的五行網路最為特別，因為對於五行網路的代理人A而言，其他四個代理人與A的關係，剛好是二個合作關係(我生與生我)，二個對抗關係(我剋與剋我)，這是最容易達到平衡的網路結構。第六章的討論已經證實為了達到五行網路的平衡，相生的強度比上相剋的強度必須是黃金比例的平方。有趣的是在N行網路中也出現類似黃金比例的角色，我稱之為廣義黃金比例。因此對於N行網路而言，只要相生的強度比上相剋的強度等於廣義黃金比例的平方，即可保證網路的平衡。第十一章針對四行網路到九行網路以及廣義的N行網路都一一做了討論，分析了它們的網路結構以及相對應的廣義黃金比例。本書前面所建立的五行網路的代數運算平台可以借助第十一章的橋樑，將之擴展為N行網路的代數運算平台，此有助於五行學說與當代網路科學的融合。
在本書以上共十一章的內容中，我提出了許多關於五行學說的創新論點，都是古今文獻所未曾涉略者，以下歸納出本書的十項學術貢獻與讀者分享:
1.
揭露五行學說的五代理人網路理論內涵:確認五行學說做為一般系統理論的歷史定位。(1-3章)
2.
建立五行學說的代數運算平台:當作驗證五行哲學思想的客觀平台，讓數據自動表達五行生剋作用的結果。(4-6章)
3.
證明五行網路的自動補償功能:結合相生、相剋、反生、反剋、相乘、相悔各種五行效應於單一的五行生剋運算平台，並利用此數學平台證明五行網路是最古老的自動化控制系統，具有自動補償自動恢復平衡狀態的功能。(6.4-6.5節)
4.
開啟以線性代數研究歷史的先河:從五行矩陣的特徵值與特徵向量分析春秋五霸的國勢消長，並以五行生剋的數據運算平台模擬驗證春秋五霸與戰國七雄的對戰局勢變化。(8.4-8.5節)
5.
運用五行生剋運算闡明《中庸》的道理: 《中庸》所說的「中」是五行系統的平衡態；當五行系統脫離平衡態，則透過相生與相剋二種相反作用的調節，讓五行系統保持在平衡態的左右，此即《中庸》所說的「和」。(6.6節)
6.
發現黃金比例(golden ratio)在五行生剋作用中所扮演的角色:當相生的強度比上相剋的強度等於黃金比例時，五行網路達到平衡的狀態。(6.2節、附錄B)
7.
運用現代科技(電子電路及無人機編隊飛行)實現五行生剋的網路運作。(第9章)
8.
建立陰陽五行的整合運算平台:將陰陽與五行納入共同的數學運算平台，以客觀的數學語言描述具有陰陽屬性的五行生剋運作，並分析原始五行與陰陽五行之間的轉換關係。(第10章)
9.
廣義化五行生剋原理:將五行生剋原理推廣至多代理人網路系統，讓五行的代理人數目不受限於五個(例如戰國七雄)，提升五行學說在現代科學與人文的實務應用價值。(第11章)
10. 賦予五行學說科學預測功能: 五行生剋運算平台可以根據當下的五行數據去預測一段時間以後的五行數據，讓五行學說在醫、卜、星、相等傳統知識領域的應用更加精確。(第7章)
以上是我整個五行生剋圖溯源之旅的縮影回顧。我原不是五行學說的研究者，但非常珍惜這個奇特的緣分，因為一張無人機編隊飛行草圖的牽引，有緣見到五行的原始風貌，並為五行學說建立一個代數運算平台。這個溯源之旅從啟程到後記的完成總共歷時二十年，中間未曾對外討論與發表。今天透過成大出版社公開這份原創性的研究紀錄，希望對於五行學說的繼承與推動有一些微的幫助。在本書出版前夕，我將本書第六章關於五行與黃金比例的內容投稿到英國《Nature》期刊的子期刊《Scientific Reports》，承蒙接受刊出[1]。我將這篇文章重新編輯後，放在本書的附錄B，當作本書的英文精簡讀本。
本書的上、中、下篇雖然有其內容的連貫性，但就個人的寫作情感而言，我是特別針對三個不同族群的讀者而寫。對於五行學說有興趣的一般讀者而言，希望本書的《上篇:五行的本質是五代理人網路系統》能讓大家重新認識五行學說。對於五行學說的研究學者而言，希望本書的《中篇:五行生剋的量化與代數運算》能夠提供大家一個研究五行學說的有用工具。對於五行學說的實務應用者而言，希望本書的《下篇:五行代數的科學與人文應用》能夠幫助大家有效提升五行推理與五行預測的準確度與廣度。
楊憲東
國立成功大學
航空太空工程學系
2023年11月
[1] Yang, Ciann-Dong. Discovering golden ratio in the world’s first five-agent network in ancient China. Scientific Reports 13, 18581 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-46071-6. 本期刊屬於開放取用(open Acess)期刊，讀者可免費自由下載存取文章。
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