一沙一世界，剎那即永恆：自然界中的隱藏維度

一沙一世界，剎那即永恆：

自然界中的隱藏維度

To See a World in a Grain of Sand：The Hidden Dimension in Nature

楊憲東[1]

國立成功大學航空太空學系

摘要

不管是科學界或宗教界的看法，都相信我們身處的三維空間只是更高維度世界裡的一個子空間而已。但是目前除了知道第四維是時間之外，更高維度的世界似乎是離我們很遙遠，只存在於神的世界中或是高能物理的超弦理論中。根據太極學說，萬物皆有陰陽的成分，連空間的維度也不例外，有陽的維度(實數空間)，也有陰的維度(虛數空間)，高維度的世界是否就是隱藏在這個陰的空間中呢？

長、寬、高三維，每一維代表一條線或是一個方向。『線』就是只有長度沒有面積的幾何體，它的維度是1。如果一條線裡面還隱藏有內部結構的話，它的維度勢必要大於1。長久以來，科學家一直認為線的維度是1，面的維度是2，立體的維度是3，維度也就只能是這三個整數之一，不能是分數。但這一認知在1970年代完全被顛覆了。1975年曼德爾布羅特(B. Mandelbrot)提出碎形幾何(Fractal Geometry，也稱為分形)的觀念，發現碎形體的維度可以不必是整數。這些年來科學家陸續發現，海岸線、山脈輪廓、浮雲邊界、河流、血管、雪花、繁星等等，這些最平常的自然圖案原來都是碎形體，它們的維度都不是整數。例如海岸線，既是線，它的原本維度應是1，但經過測量與計算，海岸線的維度卻是1.52，這多出來的0.52維度就是海岸線的隱藏維度。而這一隱藏維度在越小越精細的尺度下，越能看得清楚。原來我們平常所看到的維度，只是事物的巨觀維度；在非常精細的尺度下來觀察，事物將呈現它們的隱藏維度。如果我們將巨觀維度當成是陽的維度，那麼隱藏維度即是陰的維度。

令人好奇的是隱藏維度內部是隱藏了什麼事物呢？研究發現隱藏維度內的事物正是巨觀維度事物的複製，而且不管將隱藏維度放大幾倍，所看到的結構和巨觀維度完全一模一樣。此即碎形幾何的自我相似性(self-similarity)，也是大自然全息性的再現。古代哲人很早就意識到自然界的許多事物，其整體與局部存在著某種相似性。諸如華嚴經：『一花一世界，一葉一如來』；周易：『無極生太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦』；楞嚴經：『於一毫端，現十方剎；坐微塵裡，轉大法輪』。這些思想都體現了局部隱含著整體的痕跡，也是陽(巨顯維度)中有陰(微隱維度)，陰中有陽的最佳寫照。

關鍵詞：太極陰陽；隱藏維度；碎形幾何；分數維度；自我相似性；全息性

1. 從文學到科學的『一沙一世界』

作者小時候念過一本書，書名忘記了，這書中夾著一張書籤，上面提了五個字：『一沙一世界』，雖不明白它的含意，這五個字卻不知何緣故，一直深藏在作者腦海裡。回想這些年來所做的學術研究，探討的主題表面看起來很雜亂，有些偏向工程科技，有些是自然科學，有些則與宗教哲學有關，但背地裡似乎都受到這一童年潛意識裡的疑惑所牽引。今日回首再看『一沙一世界』這句話，心中感觸良多；思量經過多年來的摸索，雖還不到撥雲見日的明朗境地，倒也是覓得了些端倪。

『一沙一世界』一詞是來自有名的四句詩：『一沙一世界，一花一天堂，雙手握無限，剎那即永恆』，此詩是翻譯自英國詩人威廉‧布萊克[2](William Blake)的作品《天真之歌》(Auguries of Innocence)裡頭的前四句：

To see a world in a grain of sand,

And a heaven in a wild flower,

Hold infinity in the palm of your hand,

And eternity in an hour.

        這首詩描述一個由小看大的意境：透過一粒沙子可以看到整個世界，在一朵花中可以看到整個天堂；將無窮握在掌股之中，一個瞬間即是那永恆。想必是布萊克對於藐小事物有細察紋理的工夫，故時能體悟到物外之趣。神遊於藐小微物而常能獲得樂趣者，在中國則有沈復[3]，他在《浮生六記》之《兒時記趣》中說到『夏蚊成雷，私擬作群鶴舞空，...，以叢草為林，蟲蟻為獸；以土礫凸者為丘，凹者為壑，神遊其中，怡然自得』。沈復對於微小事物的描述更加具體而傳神，布萊克的『一沙一世界』相較起來抽像了些，但也多了份禪意。

比布萊克早一千年，唐代龐蘊居士[4]在他的一首偈中已領悟到與『一沙一世界』相同的意境︰「一念心清靜，處處蓮花開，一花一淨土，一葉一如來。」而這首偈的源頭又可追溯至《華嚴經》︰「佛土生五色莖，一花一世界，一葉一如來。」《華嚴經》看待這個宇宙世界像是一朵蓮，每一花瓣上生有一千蓮葉，而每一葉上又生出一朵蓮花，共有一千朵。於是花中有葉，葉中有花，整個宇宙如此層層疊疊，一體相連，於是叫「華藏世界」。如此看來，布萊克的『一沙一世界』可視為是「西方通俗版」的華嚴思想[5]。同樣表達出『一沙一世界』意境的，還有佛教的名句：「須彌藏芥子，芥子納須彌」[6]。高大如須彌山者仍可被縮小到能放入芥子的程度，而須彌山的本質仍然不變。此句話指出了芥子內部所具有的隱藏維度，而當我們進入這個隱藏維度時，看到的山還是山、海還是海，就跟我們在巨觀世界所看到的山海完全一樣。隱藏維度內的場景正是所謂的『萬象森羅藏芥子，十方法界攝毫端』[7]。

諾貝爾物理獎得主楊振寧教授在一場名為《美與物理學》[8]的演講中也提到布萊克的詩句在物理學上的含意：「學物理的人了解詩一樣的方程的意義以後，對它們的美的感受是既直接而又十分複雜的。它們的極度濃縮性和包羅萬象的特點，也許可以用威廉‧布萊克的不朽名句來描述…」。

詩人、文人、禪師、科學家從不同的角度觀察微小事物，都發現其內部的複雜性，似乎都看到了物中有物的意境。『物中有物』用數學的語言來說，就是在平常四維時空的表面下，隱藏著某些看不到的新維度。統一量子力學及廣義相對論的超弦理論就曾預測額外六個新維度的存在。最近天文學家對於黑暗物質的研究，取得了這些高維度空間存在的有力證據[9]。不過，為什麼我們沒有辦法感受到其它維度的存在呢？科學家認為，因為這些維度『被捲起來了』，它們被捲的非常緊，卷的非常的微小(小於1奈米，10^-9公尺)，以致於我們沒辦法看到，也沒有辦法進入。

2. 海中有沙粒，沙粒中有內海，內海中復有沙粒

既然自然界中的隱藏維度被捲入比1奈米還小的空間內，如果我們用顯微鏡加以放大，是不是就可以看到第五度、第六度的隱藏空間了？尤其是現在高科技的掃描穿隧顯微鏡(STM, Scanning Tunneling Microscope)可以將奈米大小的原子放大到像棒球一般大，是否原先隱藏的高度空間就無所遁形了呢？答案是否定的。就如同大家所知道的，原子、分子或是比原子小很多的電子都是存在於我們所處的四維空間之內，只是它們比較小罷了。低度空間的生命無法看到高度空間的情境，這本就是物質世界的先天限制，是無可奈何的事情。

圖1. 用電腦模擬沙中的世界，發現不管放大幾倍，精細結構的內部還存在著更精細的結構[10]。

對於隱藏維度的探究，在這裡我們似乎遇到物理世界的瓶頸了。就在這山窮水盡疑無路的時候，數學世界幫我們開了另一條往隱藏世界的道路。這是拜1970年代電腦問世之福，一些先前無法用手解的數學問題可以藉由電腦的幫助而獲得解答。隱藏維度的視覺化正是電腦偶然之間的一個發現。這一偶然是起因於1975年數學家B. Mandelbrot[11](曼德博)求解一個複數的疊代問題：

                                                         (1)     

其中常數c是所要決定的複數使得上面數列為收斂。每一個滿足收斂條件的常數c對應到複數平面上的一個點，當電腦將這些複數平面的點集合描繪出來後，曼德博發現電腦所呈現的圖形跟所有已知的幾何圖形不一樣，其表面極度曲折而且複雜。將此複雜圖形的某一小部分放大來看，似乎內部還隱藏著更精細複雜的結構。由於當時電腦的速度和記憶容量非常有限，曼德博無法進一步揭露圖形中更細微的結構，不過當時他已經可以確認電腦所畫出的幾何圖形既不屬於歐氏幾何，也非黎曼幾何[12]，而將此新幾何稱之為碎形幾何(Fractal Geometry)。

今天我們用最新的電腦科技重畫使得方程式(1)之數列為收斂的所有複數點c，得到如圖1a的結果，此圖外形和當初曼德博所畫者相同，但解析度高了千萬倍以上，這允許我們看清楚圖中非常細微的部分，領略物中有物的意境。圖1a中的圖案可想成是藍色大海中的一顆沙粒，這顆大沙粒的周圍又排列著許多大小不一的小沙粒，有些小到肉眼無法察覺。我們將圖1a中的白色框內的結構放大100倍來看，得到如圖1b的結果。從放大100倍的圖中可看到大沙粒的邊緣線其實非常複雜，除了排列著許多微小沙粒外，還包覆著華麗的海馬狀條紋。把某一段海馬條紋放大100倍來看，呈現如圖1c的圖案。可看到海馬狀條紋其實不是單純的線條所組成，而是藏有複雜的內部解構，其內倍依稀可看到藍色的海水，也就是沙粒中藏有內海。再將圖1c中的白色框內的結構放大100倍來看，呈現如圖1d的結果。這時可清晰看到內海的景緻，原先像是海馬的結構，原來是內海中一連串的珊瑚礁所構成。在輻射狀的珊瑚礁中心，隱約藏著一座小島。圖1e是將這座小島放大100倍所看到的情形，這時發現這座小島的外型和圖1a中的沙粒一模一樣；也就是當我們將原先沙粒的一小部分放大1億倍(10⁸)後，發現裡面竟然藏有一顆一模一樣的沙粒。再仔細端詳圖1e中的黑色沙粒，發現其周圍似乎佈滿了許多小沙粒。放大這些小沙粒的排列情形，我們看到如圖1f的結果，此時海馬狀的條紋再次出現，而其外面則是一片藍色的海。這個景緻類似圖1b的情形，但圖形已被放大了一百億倍(10¹⁰)。

在圖1的系列放大子圖中，後面的圖是前面圖的放大100倍。藉由圖形的層層放大，我們看到了在不同的尺度下，曼德博碎形圖案的精細結構。從圖1中我們得到二點重要的觀察結果：(1)碎形圖案不管在多小的尺度下來看，亦即不管放大幾倍來看，圖形一樣複雜，不會變的簡單。例如圖1f已是將圖1a放大一百億倍的結果，但是圖1f的內部仍然藏著複雜的結構，它的複雜度和圖1a的複雜度一樣，沒有因放大而改變。所以吾人稱碎形圖案的複雜度是與尺度無關的(Scale independent)。(2)相似的圖案在不同的尺度下會重複出現。例如像圖1a中的沙粒外型，它在後面幾個放大的子圖中均會重複出現。這一性質稱為碎形圖案的自我相似性(Self-similarity)。

結合以上二種碎形圖案的性質，說明碎形圖案具有層層內含的相似結構。具體來說就是沙粒中有微沙粒，而微沙粒中又有微微沙粒，如此一個包含一個，逐漸縮小，沒有窮盡。對於圖1的6個子圖所描述的現象，我們可做如下的對應詮釋：

沙粒中有無數內海，內海中又有沙；沙中復有內海，如是重覆無窮盡。

像這種『沙中有海，海中復有沙』的層狀結構在《大方廣佛華嚴經》中有一段完全一樣的描述：

『一一微塵中，各現無邊剎海；剎海之中，復有微塵；彼諸微塵內，復有剎海；如是重重，不可窮盡。』

以上經文的最後一句『如是重重，不可窮盡』是碎形結構精義之所在，而我們在第一節中所提及的隱藏高維度空間，正是表現在這種『如是重重，不可窮盡』的層狀結構之中。『一沙一世界』描述了沙中的隱藏世界，但並沒有觸及隱藏維度(Hidden Dimension)的核心，因為隱藏世界的維度可能跟我們所處維度一樣，只是比較微小罷了，就如同電子雖極小，但仍在我們所處的維度中。在我們所處的世界(四維時空)中，若藏有更高維度的空間，其必要條件是不管我們放大幾倍來看這個空間，我們將永遠無法看清楚它，因為其有無窮層的內藏結構。因此若『微塵中有剎海，剎海中復有微塵』的層狀結構在第6層結束的話，則吾人透過連續6次的放大作用即可完全看清楚這樣的層狀結構，代表這種有限度的層狀結構與我們所處的時空維度相同，只是比較微小罷了。反之，『微塵中有剎海，剎海中復有微塵，如是重重，不可窮盡』的無窮層狀結構則包含了無窮盡的複雜度在其內。因為我們所處空間的維度裝不下這種無窮盡的複雜度，所以才必須動用到額外的維度(自由度)才能容下它。

3. 自然界處處有隱藏維度

在圖1中我們看到曼德博碎形圖案的邊線非常複雜，內部包藏著無窮盡的層狀結構。因為邊線是線條，所以它的拓樸維數是一維的；然而這條一維的邊線因為具有無窮盡的曲折度，看起來卻像是二維的平面圖案。那麼碎形邊線到底是一維的？還是二維的？這二個答案都不對！正確答案是碎形線具有分數的維度(簡稱分維)，它的分維大於它自身的拓樸維數1，但小於它所嵌入的平面或空間維數。一般平滑曲線的維度是1，但碎形線的維度卻是大於1，這多出來的維度就是碎形的隱藏維度。

1919年，著名的數學家F. Hausdorff[13](毫斯道夫)最先提出連續空間的觀念，即空間維數的變化不是間斷式的從一維躍到二維再到三維，而是連續性變化的。但是有那些幾何體的維度不是整數而是分數，甚至是無理數的呢？具有分數維數的幾何體被稱為『分形』或『碎形』(Fractal)，是直到1975年才由曼德博所發現，如圖1a所示。他把碎形定義為Hausdorff維數大於其自身拓樸維數的集合。碎形的觀念被提出來後，人們逐漸發現自然界中竟然到處是碎形的實例：彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈輪廓、變幻無常的浮雲邊界、河流、血管、霜花、滿天繁星等等，這些都是歐幾里得幾何所處理不了的幾何圖形。『碎形』就是指這類破碎而複雜，但有『自我相似性』(Self-similarity)的幾何體。

當科學家千方百計在外太空、在微小的奈米世界中搜尋自然界中的隱藏維度之時，卻萬萬沒有想到人體內部就有許多的隱藏維度。微血管為了要盡量分支以接觸到每個細胞，其極度分岔的結果造成(一維)線條狀的微血管具有(二維)面的覆蓋性。計算結果顯示微血管的Hausdorff維數等於1.67，代表微血管具有0.67的隱藏維度，就是這個多餘的維度讓微血管具有面的覆蓋效果。肺的表面也具有隱藏維度。肺為了增加肺泡與微血管間的氣體交換量，肺的總表面積要在有限的胸腔體積內，開展的越大越好。這一需求造成肺片演化成具有劇烈皺摺的表面。平滑面的Hausdorff維數為2，而肺表面的維度為2.17，這多出來的0.17就是肺的隱藏維度，它以『皺摺內復有皺摺』的碎形結構表達出來。

DNA雙螺旋分子被捲繞在染色體的內部，染色體的大小約有幾個微米長(10^-6公尺)，但DNA分子伸展開來的總長度平均約為幾個厘米(10^-2公尺)，兩者長度差了將近一萬倍。所以要將這麼長的DNA分子捲繞在染色體內，其困難度相當於要將一萬公尺長的線捲繞在空心釣魚桿內部的狹小空間。要在這麼小的空間擠下如此長的長度，DNA分子須具有『捲繞之內復有捲繞』的碎形結構。經過計算，發現DNA分子的碎形維度是1.26，這多出來的0.26隱藏維度表達了它捲繞的程度。

線條一旦具有碎形維度代表其內含無窮盡的曲折程度，亦即曲折之內復有曲折，一直到無窮小的地方仍藏有曲折。所以像這樣的一條碎形線根本是拉不直的，當吾人以為已經拉直的時候，又會出現新的曲折之處；復拉直，另一新的曲折處又出現，如此沒有窮盡。所以一段完美的碎形線是越拉越長，其理論上的總長度是無限長的。自然界中最典型的碎形邊線是海岸線，由於海水的衝擊和陸地本身的運動，海岸線變得彎彎曲曲，呈現類似碎形的不規則形狀。在曼德博提出碎形觀念之前，著名的氣象學家理查森[14](L.F.Richardson)即提出一具有啟發性的問題：“英國的海岸線有多長？”。這個問題提醒人們，如果認真去測量海岸線的長度，可能無法得到一個確定的答案。

理查森實際去測量英國的海岸線，他發現所採用量尺的最小刻度若越小，則所量到的海岸線就越長。他所得到的經驗公式如下：

                                                        (2)    

其中δ為所用的測量長度單位，L為海岸線的長，a為一比例常數，D的值為D=1.52。故當所用的長度測量單位趨近於零(δ→0)時，海岸線的總長度趨近於無窮大(L→∞)。 

    理查森的測量結果顯示海岸線的長度取決於所用量尺的刻度，如圖2所示。如果量尺的刻度比較大，如同是遠距離觀察海岸線的結果(例如空拍圖或衛星照)，海岸線像是平滑的曲線，這時較小的海灣不能被看見，因而在測量中得不到其長度的反映。當吾人很靠近海岸線的時候，這相當於是以較小的單位作測量，一些比較小的海灣變得清晰，其長度可被正確反映出來。如果再縮小尺度，那麼海灣轉折處的細節也可被觀測到。若再縮小測量刻度，那麼更精細的海岸線凹凸隆起波動也可以清晰的顯現出來，所量到的海岸線長度又更長了一些。如此繼續下去到無窮盡，一段海岸線的總長度將會增加到無限大，而這一特性正說明了海岸線是一種碎形曲線，其碎形維度是方程式(2)中D的值，即D=1.52。

這整個自然界具有碎形的結構，當我們把觀測的尺度層層縮小(相當於把微小的地方層層放大)，會看到層層自我相似的景像，而且景像的複雜度沒有因為放大的作用而降低。同樣的道理，當我們把觀測的尺度層層放大，也會看到層層自我相似的景像。電子或夸克是人類從極微小尺度所觀察到的事物；而人類自己又何嘗不是『別人』眼中極微小尺度下所觀察到的事物。從人類的尺度來看，地球繞太陽的運動是大尺度的天文現象；如果今天有一種外星生命體其所在的空間尺度是人類的 倍，則從此一巨大外星生命體的觀點來看，地球繞太陽的運動無異於是他們世界中電子繞原子核的運動。地球繞日，電子繞核，二者尺度雖然差距很大，但具有相似的幾何結構，這正是碎形宇宙的主要特徵。不管吾人從多大的尺度或多小的尺度來看宇宙，其幾何結構看起來都是一樣的，也就說，巨大外星人所見到的宇宙樣子，與人類所見到的宇宙樣子應是相同的。

圖2. 海岸線具有碎形結構，其總長度會隨著所用測量尺的最小刻度而改變。

4. 碎形維度的計算

碎形具有無窮盡的內藏結構，它表面上看起來是有限，但實際上內部隱藏著無限。相同的看法可追溯到莊子(西元前369年)所提的無窮分割的思想：『一尺之棰，日取其半，萬世不竭[15]』；一尺長的木杖雖然是有限，但每日取走其剩下的一半，經過無數日後卻仍然會有剩下。莊子透過有限長的木杖表達了無限的思想。1883年，德國數學家康托爾[16](G. Cantor)進一步發展了莊子無窮分割的思想，但他不是日取其半，而是日取三分之一。康托爾是將一根桿，分為三段，將中段移棄，再對剩下的兩段進行相同的處理。將這一過程無窮的持續下去，所得到的圖形如圖3ａ所示，它是由無數個分離點所組成，稱之為康托爾塵。每一個塵點不佔有體積，且各別的維度都是零，但奇妙的是由這無窮多個塵點所形成的集合，其維度卻不為零。康托爾塵是一個典型的碎形，其維度是分數的型式且是由Hausedoff維數所定義。

有一個簡單的公式可以用來計算碎形體的維度。設有一立方體，將它的每一邊放大二倍，放大的圖形正好是原來的2³=8倍。同樣的道理，對於一個D維的物體，若將其每一維的尺度放大L倍，則會得到N個原來的物體，此時有N=L^D，兩邊取對數得D=logN/logL。這就是Hausdoff維數的定義。以下我們舉幾個實例說明分維的計算。

圖3 (a) 康托爾集合(Cantor set)； (b) 西平斯基襯墊(Sierpinski Gasket)；(c)西平斯基毯片

(1) 康托爾塵：一維桿放大三倍(L=3)，去掉中間一段，得到兩桿(N=2)，於是D=log2/log3= 0.301/0.4771=0.631。表示康托爾塵雖然是由一排分開的微塵所組成，但其維度卻不為零；因一排微塵的密實度不若直線，故其維度比直線的維度1小。

(2) 西平斯基襯墊(Sierpinski Gasket[17])：如圖3b所示，此圖案是將三角形每邊擴大二倍，得到四個三角形後，拿去中間一個三角形，還剩三個三角形，因此D=log3/log2=1.5849，亦即襯塾的分維大於1，但小於2。

(3) 西平斯基毯片(Sierpinski Carpet)：如圖3c所示，此圖案是將正方形每邊放大三倍後，得到9個正方形，再將中心的正方形拿掉，剩下8個正方形，所以其分維為D= log8/log3=1.89。密實平面的分維為2，西平斯基毯片的分維比2小一些，這短少的維度就是被取走的中心部分的維度。

(4) 科赫(Koch)曲線[18]：科赫曲線的建構過程如圖4a所示，一線段分成三等份，去掉中間一份，再以2份等長段線搭成一三角形代替之。故其分維為D=log4/log3=1.262。圖4a僅顯示建構科赫曲線的前面四個步驟，要重覆這樣的步驟到無限多次，才能得到真正的科赫曲線，所以科赫曲線沒有一處是平的，也就是處處不能微分(non-differentiable everywhere)。在圖4a中的每一個步驟所呈現的線條都是一維的；縱使進行到第一百次步驟，所得到的曲線已非常凹凸不平，但仍然是一維度的平常曲線。唯有當圖4a中的步驟執行到無限多次，此時所得到的科赫曲線才具有1.262的維度。這多出來的0.262維度是隱藏在『如是重重，不可窮盡』的層狀結構之中。

科赫曲線可用以模擬海岸線、浮雲邊界、分子擴散、滲透等自然現象。將科赫曲線連成一封閉曲線，則可用以近似雪花片的外型，如圖4b及圖4c所示。

當吾人用不同的長度單位去測量科赫曲線時，其結果正是如(2)式所表示者，也就是所用的長度測量單位越小，則科赫曲線的總長度將越大。參考圖5a，當測量單位長度δ=1時，科赫曲線長度L = 1；當測量單位長度δ=1/3時，L = 4/3；當測量單位長度δ= (1/3)²時，L = (4/3)²；當δ= (1/3)ⁿ時，則有L = (4/3)ⁿ。因此當n→∞時，所用的測量單位長度δ→0，而所量到的科赫曲線的總長度L→∞。若以log₃(1/δ)為x軸，log₃(L)為y軸，其圖形為一通過原點的直線y=x(log₃(4/3))，顯示當測量單位長度遞減，則科赫曲線的總長度遞增，如圖5b所示。

在另一方面，科赫曲線的 與 的關係式可以寫成如(2)式的型式。對L=(4/3)ⁿ兩邊取對數，並代入logδ= -nlog3的關係，可得L=δ^1-D，其中D=log4/log3=1.262是科赫曲線的分維。比較L=δ^1-D與(2)式二者之相似性，說明科赫曲線是海岸線極好的模型。

圖4 (a) 科赫(Koch)曲線的建構步驟； (b) 科赫雪花(Koch snowflake)；(c)真實雪花片的三種外型。

圖5 (a)用不同的長度單位測量科赫曲線的長度； (b) 科赫曲線的長度(y軸)隨單位長度的遞減而遞增。

5. 自我相似性與全息理論

仔細觀察科赫曲線，吾人發現它是以圖4a步驟1中的線條為基本樣式，然後不斷地複製在所有尺度下的大大小小的線段上。所以不管放大幾倍來看科赫曲線，吾人都會看到相同的基本樣式。故稱科赫曲線具有自我相似性，或稱其圖形與尺度無關。圖4a步驟1中的線條就是科赫曲線的DNA，此DNA不斷複製的結果即得到具有內藏結構的科赫曲線。此DNA不僅複製了數學的科赫曲線，也複製了自然現象中的各種不規則且複雜的形狀, 如雲的形狀、海岸線、樹葉、閃電等等之碎形結構。自我相似性與尺度無關性是自然界中任何碎形的共同性質。吾人可以用一種簡單的碎形觀念解釋中許許多多不同的景象，這說明了看似複雜的自然界，其實是由一種簡單的機制所產生的。自然界的複雜來自於碎形的無窮盡的內藏結構；自然界的簡單來自於碎形DNA自我複製的簡單機制。

生命的成長正是融合了碎形的簡單與複雜。人體的複雜是因為其由多達一百三十萬億個細胞所構成，相同功能的細胞先聚集形成組織，幾種不同的組織合成器官，幾種不同的器官再組成人體的系統。人體的簡單是因為這一百三十萬億個細胞當初都是由同一個受精卵細胞不斷複製、分裂而來。所以每一個細胞內的染色體都完全相同，而且每一個單獨的細胞都包含著有關人體的全部信息。每一個獨立的細胞都可以複製出一個一模一樣的人，所以一個個細胞都是一個個的人，五官、七竅、骨骼、毛髮、五臟、六腑、四肢、皮肉一件都不少。當我們觀察人體的尺度縮小到細胞層級時，仍然會看到一個相同的人體，這說明了人體本身就是一種碎形結構。在圖1中，將一粒沙子放大一億倍來看，吾人看到裡面藏著一顆一模一樣的沙子。所以從一顆沙看到整個世界，其道理和從一個細胞中看到整個人是完全一樣的，它們所反映的都是碎形結構的自我相似性。

不管是文學的『一沙一世界』，還是華嚴宗的『一花一世界』，都體現了局部隱含著整體的痕跡，所要表達的都是「整體存在於每一部份」的思想。受到華嚴宗思想的啟發，現代物理師大師玻姆[19](David, Bohm)提出了『全息論』(Holographic Paradigm)的觀點。全息論認為宇宙是一個不可分割的、各部分之間緊密關聯的整體，任何一個部分都包含整體的信息。碎形結構的自我相似性正是大自然全息性的表現，而『人』與『天』既是大自然的一部分，必具有自我相似的特性，二者也應都能反映大自然整體的訊息。中國古代的哲學思想『天人合一』[20]講的正是人與天的相似性，認為人類的生理、倫理、政治等各種社會現象都是天道的直接反映。人是一個縮小的天，天則是放大了的人，正由於天人同類，故可相互感應。《黃帝內經》主張天人合一，其具體表現為天人相應。《黃帝內經-靈樞》強調人「與天地相應，與四時相副，人參天地」。 《莊子·齊物論》：『天地與我並生，而萬物與我為一』，以及《周易·文言》：『夫大人者，與天地合其德，與日月合其明，與四時合其序』，兩者都提到人的精神境界與天地自然融會合為一體。大自然具有碎形結構，而碎形結構的主要特徵就是層層放大後，仍具有相同的結構(參見圖1)。『天』既為『人』的放大，『天人合一』思想主張人與天有著統一的本原、屬性、結構和規律，這是完全符合了碎形的數學規則與全息論的物理定律。

全息論在生物學的應用則衍生出全息生物學[21]。從胚胎學觀點看，由於在受精卵通過有絲分裂分化為體細胞的過程中，DNA經歷了半保留複製過程，所以體細胞也獲得了與受精卵相同的一套基因，它也有發育成一個新機體的潛能。這在植物界表現得十分明顯，如在吊蘭長出軟藤的末端或節枝處，可以萌發出一棵棵完整的植株。又如切下一塊長芽的馬鈴薯，便可培育出一棵馬鈴薯，而一個關於『任何一個部分都包含整體信息』的更有力證據是用胡蘿蔔的一個分離細胞或細胞團成功地培養出一棵胡蘿蔔植株。

全息理論對於一對電子間之超距作用力提出了很好的解釋。1982年由物理學家 Alain Aspect[22]所領導的一組研究人員發現，在特定的情況下，一對電子同時向相反方向發射後，不管彼此之間的距離多麼遙遠，不管它們是相隔十尺或十萬萬里遠，它們似乎總是瞬間知道相對一方的運動方式；在一方被影響而改變方向時，雙方會同時改變方向。這個超距現象違反了愛因斯坦的理論：沒有任何通訊能夠超過光速。這個駭人的可能性使一些物理學家試圖用複雜的方式解釋Aspect的發現。

玻姆的全息理論認為電子能夠彼此瞬間保持聯繫，而不管它們之間的距離多遠，不是因為它們之間來回發射著某種神秘的信號，而是因為它們的分離是一種幻象。玻姆認為一對能夠互通訊息的電子其實並不是分離的個體，而是某種更基本的粒子在高維度空間運動時，於二個不同方向所得到的投影分身。為了便於理解，玻姆用“魚缸裡的魚”來做比喻。在一個玻璃魚缸中放進一條魚，並用兩台相互垂直的攝影機觀察魚的活動，所攝影像分別由兩台顯示器播放出來。比較二台顯示器畫面裡魚的動作，我們可以看到，"兩"條魚分別以相同速度但相反方向運動。如果其中一台顯示器畫面裡的魚的運動狀態改變了，另一台顯示器裡的魚的運動狀態也立即隨之改變。這二條魚對應到先前的二個電子。二條魚的產生是因為二台攝影機以不同角度對同一條魚的拍攝結果；同樣的道理，二個電子的產生是因為同一個位於高維度空間的電子於不同方向所得之三維投影。在三維空間看來，二個電子沒有相互接觸，毫無因果關聯；而實際上，兩個電子之間相互關聯的方式，等同於魚的兩個影像之間的相互關聯方式。玻姆進而引伸推論，我們肉眼所見的三維物質世界的獨立個體，實際上是更高維度整體的一個投影，由於我們不能看到更高維度的整體性，而誤以為我們所看到的一個個人或物是獨立的個體，而實際上他們都是相關聯整體的一部分。

6. 全像攝影與網際網路：全息理論的工程實現

全息攝影技術[23](全像攝影，Holography)是全息理論的工程實現。全像攝影是一種記錄被攝物體反射（或透射）光波中全部信息（振幅、相位）的照相技術。物體反射或者透射的光線可以通過記錄膠片而完全重建，彷彿物體就在那裡一樣。通過不同的方位和角度觀察照片，可以看到被拍攝物體的不同角度，因此記錄得到的像可以使人產生立體視覺。要製作一張全像攝影相片，物體首先必須用一道雷射光束照射，然後第二道雷射光束與第一道光束的反射光疊加後，所產生的干涉條紋被記錄於底片上。底片洗出後，看起來像是無意義的光圈與條紋組合。但是當底片被另一道雷射光束照射時，一個三度空間的立體影像就會出現在底片中。全像攝影底片上的任一個點都記錄了被攝物的所有資訊，而不像一般照片只記錄了某一點的局部資訊，所以從任何一小塊碎片上都可以看到完整的影像。當整張全像片被完整使用時，我們看到的是一個大型的影像，可是當全像片被打破的時候，我們看到的並不是像一般照片那樣支離破碎的碎塊，而是許多個比較小但是很完整的影像。所以全像攝影相片完全實現了全息理論的核心思想：每一小部份都包含著整體的資料。

全像相片不僅具有上述的局部與整體之間的相似性，而且還兼具碎形的隱藏維度。如前所述，碎形體的隱藏維度表現在內藏的無窮盡層狀結構之中。所以一張二維平面的全像相片內，隱藏著無窮層的結構。如果吾人在每一隱藏層儲存一張影像的話，那麼一張平面的全像相片可以儲存無數張的影像，而實際上也是如此。這是因為全像相片上的干涉條紋完全取決於雷射光束的入射角，吾人只要調整每次拍攝的底片角度，我們就可以把許多不同的畫面重複拍攝在同一張全像片上而不會互相重疊。由於全像片的特性，觀察者每次只能看到其中的一個影像，不會像一般相片重複曝光後會出現的影像重疊。觀察者可以隨著觀測角度的不同，而看到當初由不同角度拍攝物體所儲存的一張張隱藏影像。當觀察者左右改變全像片的觀測角度時，看起來就好像圍繞著真的物體在旋轉一樣，所以會讓人產生立體而真實的感覺。透過隱藏維度內的無窮層狀結構，全像攝影片具有驚人的資料儲存容量：只要改變兩道雷射照射底片的角度，就可以在同一張底片上記錄許多不同的影像。經由實際測試，得知在一公分立方的方塊底片上可以儲存一百億位元(10G)的資料。

當腦神經科學家在研究人類頭腦如何能在那麼小的空間中儲藏那麼多的記憶時，發現人腦的記憶原來也是採用類似全像攝影的技術，所以大量的資訊可以層層儲存在隱藏維度之中，而此隱藏維度得之於大腦皮質的碎形結構。大腦皮質是包裹在大腦外側的皺摺膠狀組織，它非常皺摺的表面分佈著縱橫交錯的隆起和溝壑。成年人的大腦皮質如果全部展平，面積大約有兩張報紙展開這麼大。透過『皺摺之內復有皺摺』的碎形結構(碎形維度介於2.73至2.79)，如此大面積的大腦皮質才能塞進體積非常有限的頭顱中。此道理跟長條型的DNA分子如何捲繞在長度只有其萬分之一的染色體內部的道理是一樣的。大腦解剖學證實智慧程度越高的動物，其大腦皮質的皺摺度越高。而皺摺度越高，代表碎形結構越明顯，其隱藏維度內具有越多的層狀結構可以儲存記憶與訊息。

大腦皮質既是碎形結構，其必具有自我相似性，亦即每一小部份都包含著整體的資料。在一九二零年代的一連串歷史性的實驗中，腦部科學家Karl Lashley發現，不管老鼠腦部的什麼部位被割除，都不會影響它的記憶，仍舊能表現手術前所學到的複雜技能。當時沒有人能提出一套理論來解釋這種奇怪的「整體存在於每一部份」的記憶儲存本質。到了一九六零年代，史坦福大學的腦神經學家Karl Pribram接觸到全像攝影的觀念，才發現了腦神經科學家一直在尋找的解釋。原來記憶不是記錄在腦神經細胞中，或一群細胞中，而是以神經脈衝的圖案橫跨整個腦部，就像雷射產生的干涉圖案遍佈整個全像攝影的底片上。每一小部分的大腦皮質都能反映整個大腦皮質的所有記憶；這正猶如每一小部分的全像攝影相片都能顯現整張全像攝影相片的影像。如果說全像攝影是全息理論在工程上的實現，那麼大腦記憶則是全像攝影技術在人體上的實現。

比起頭腦的記憶，電腦的記憶更接近全息(全像)的效果。在沒有網際網路的時代，每一部電腦都是獨立運作的記憶單元，訊息無法流通共用，人類整體的資訊是被切割成無數塊，由不同的電腦儲存起來，所以一部電腦所儲存的資訊只是整體資訊的一小部分。網際網路的技術則將全世界所有電腦串連起來，網路上的全球資訊被下載到所有連線的電腦中，每一部電腦都可以儲存網路上的所有資訊。如果把全球網際網路當成整體，每一部連線的電腦當成此整體內的一小單元，則從每個小單元中我們都可看到整體的資訊，每個小單元都是整體的縮影，此即全息的現象。所以網際網路技術實現了資訊的全息，而雲端運算[24]技術將使得資訊全息的效果更加完美。

7. 時空全息：碎形時空結構的證據

我們再回到布萊克的詩句：『一沙一世界，一花一天堂，雙手握無限，剎那即永恆』，前面三句話講的是空間全息(Space Holography)，亦即局部是整體的縮影；後面一句話則是關於時間全息(Time Holography)的思想，亦即瞬間是永恆的縮影。本文到目前為止局限於空間全息的討論；我們從數學、生物、醫學、光學、資訊等不同觀點出發，都驗證了局部與整體間之相似性，而這種相似性是出自於碎形空間的隱藏維度。在另一方面，時間全息則是在論述於時間的洪流中，其內每一小段時間(不管多小)的演化過程都會重演並記憶整體時間的演化過程。如果將這一小段時間縮小到無窮小，變成瞬間；同時將整體時間擴大到無窮長，變成永恆，則時間全息即是指瞬間的演化記憶了永恆的演化，此即『剎那即永恆』的原意。

南宋慧開禪師[25]的《無門關》禪語錄點出了相同的禪意：『一念普觀無量劫，無量劫事即如今』。在佛教經典中，『一念』[26]是極短的時間單位，而『劫』則是最長的時間單位。慧開禪師的偈語譯成白話即是『剎那即永恆；永恆即當下』。時間全息思想也同樣出現在其他經典中，如《大方廣佛華嚴經》：『三世所有一切劫，於一念中能悉現』；《大方廣如來不思議境界經》：『一剎那中攝無量劫』。

時間全息思想如今在生物的演化上取得了有力的佐證[27]。一個受精卵細胞在幾分鐘內就完成了地球需幾十億年的由氨基酸、核甘酸聚合成生命大分子的化學進化過程，為細胞的有絲分裂準備了全套所需複本。受精卵在母胎中的10個月則複製了地球從真核單細胞演化到高級哺乳動物的10億年歷程。嬰兒從分娩到幼兒期的幾年則快速重演了人類從爬行到直立行走，手足分工，從無語言到語言，從無思維到思維，整個歷時700萬年的猿人進化過程。一個人從兒童到大學的十幾年求學生活則相當於跨越了人類7000年的文明化過程。吾人可以說一個人的成長過程就是整個生物進化史和人類文明發展史的縮影；在另一方面，人類胚胎的發育過程則快速重演了從低等動物到高等動物的胚胎發育史，這正是整個生物進化史的縮影。

布萊克的詩句具有非常特殊的科學價值，因為它同時包含了空間的全息(一沙一世界)與時間的全息(剎那即永恆)，簡稱時空全息(Spacetime Holography)。時空全息指的是宇宙內任何一小部個體，在任何一小段時間的演化，包含了宇宙全體經歷長時間演化所產生的訊息。從一個人的身上我們就可以看到宇宙時空全息的特性。從空間全息的角度來看，人身體裡的每一個原子都可追溯到太陽系形成之前的那次超新星爆發；從時間全息的角度來看，人身體內的每一個細胞都可追溯到10億年前的那個真核細胞，中間絕沒有一分一秒的間斷。吾人可以說一個細胞全息縮影著一個人，而一個人全息縮影著整個宇宙。不僅是人，世界上的一草、一木、一粒沙、一滴水都是宇宙的分身，它們都可各自獨立反映宇宙的空間組成以及宇宙的時間演化史。

地質全息現象[28]提供了時空全息思想一個具體的科學證據。地質全息是指地質範疇中的一些個體(稱為地質全息元，holographic node)，它包含了所在地質整體的大部分甚至全部資訊，包括空間上的立體形態和時間上的變化頻率兩個方面。研究顯示空間和時間兩方面的地質全息現象是互相聯繫的，二者構成一個統一的地質全息系統。地質本身就是一個時間和空間融合在一起的概念，單獨時間上的地質和單獨空間上的地質概念都是不完整的，地質全息現象本身自然的融合了時間和空間信息，成為一種四維時空全息的最佳佐證。

8. 結論

從古迄今，從文學、哲學、宗教、科學各個不同角度出發，所觀察到的空間全息、時間全息、時空全息等諸現象全部都導向同一結論：我們所處的宇宙具有碎形的時空結構。碎形時空從天文的尺度來看，它是平滑而彎曲(受重力的影響)，猶如廣義相對論所描述的彎曲時空。從地球的尺度來看，我們是站在彎曲時空的一個切平面上，所以看到的是平坦的時空，此正是狹義相對論所描述的四維時空。在一般日常生活的尺度上，我們處於熟悉的牛頓三維空間。當縮小到奈米尺度時，時空開始變的凹凸不平，當微小粒子運動在此顛簸時空面上時，即呈現跳躍不規則的行為，此即量子力學所描述的機率現象。當再縮小到皮米尺度(picometer，10^-12m)的視野時，吾人已進如原子核的內部，碎形時空更加凹凸不平，能量的起伏更是劇烈，這是屬於量子色動力學[29]的研究範圍。進一步縮小到費米尺度(femtometer，10^-15m， 又稱飛米)，我們來到質子或中子的內部，當再縮小到千分之一費米(10^-18m)時，最後我們來到夸克的內部，這已是當代物理所能觸及的最微小區域了，但此時空的皺褶起伏仍未停止。時空皺褶之內還有皺褶，起伏之內復有起伏，如是重重，不可窮盡。如前所述，這正是碎形結構的基本特性，而其隱藏維度就是表現在這不可窮盡的層狀結構之中。

為什麼海岸線皺褶內還有皺褶？為什麼浮雲、山巒、DNA分子、大腦皮質等等這麼多的大自然界內的物質也都是皺褶內還有皺褶？如果是偶發事件不可能會導致多麼多的雷同。究其本源是因為它們所處的時空背景，本質上就是皺褶遍佈高低起伏的。時空的皺褶起伏是要在非常微細的尺度下才看的到，也唯有非常微細的粒子才會受到時空上下起伏的影響。自然界內的巨觀物質表面上感受不到時空的皺褶，但巨觀物質終究是由微觀粒子組合而成的，當微觀粒子緊貼著皺褶的時空向外堆砌形成巨觀物質時，巨觀物質的邊緣線自然會隱約呈現其內部時空的皺褶。也就是說我們在自然界中所觀察到的這些五花八門的碎形圖案，實際上是微觀的碎形時空向外堆砌成巨觀物質時，所殘留的遺跡。

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[1] 特聘教授，Email: cdyang@mail.ncku.edu.tw，Tel：06-2757575 ext. 63669，FAX：06-2084377.

[2] 威廉·布萊克（William Blake，1757~1827），英國詩人、畫家，浪漫主義文學代表人物之一。

[3] 沈復（1763~1825），字三白，號梅逸，嘉慶十三年（1808年）著《浮生六記》為其自述平生，為自傳小說。

[4] 龐蘊(?~808)，字道玄，湖南衡陽人，是唐代著名的在家禪者，曾在馬祖道一、石頭希遷座下習禪，與丹霞天然、藥山惟儼、百靈、大梅法常、洛浦、仰山慧寂等當代知名禪師頻相往來。悟境甚高，後世譽稱他為中國的維摩詰。

[5] 陳克華，《一花一淨土》，聯合報，2008年1月19日。

[6] 此語原出自《維摩詰所說經》〈不思議品〉，後常被引述在唐朝江州刺使李渤與智常禪師間之對話。

[7] 此對句出自台中東勢明山寺的門柱聯

[8] 楊振寧，《美與物理學》，香港中文大學演講稿，1997年1月27日。

[9] Philip Ball,《Dark matter highlights extra dimensions》, nature@news. Published online: 2 Sept. 2005; doi:10.1038.

[10] 此系列的圖取材自線上維基百科，條目：曼德博集合(Mandelbrot set)。

[11] Benoit B. Mandelbrot（1924－2010）是法裔美國數學家，他自己翻譯的中文名字叫做本華-曼德博。他在1970年代提出「碎形」（fractal，又稱分形）理論，而有「碎形幾何學之父」的尊稱。

[12] 德國數學家黎曼(G. F. B. Riemann) 於19世紀中期提出的幾何學理論。黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。他發展了空間的概念，提出了幾何學研究的對象應是一種多重廣義量，空間中的點可用n個實數（x₁，...，x_n）作為座標來描述，這是現代n維微分流形的原始形式，奠定了以抽象空間描述自然現象的基礎，而廣義相對論的數學基礎即是黎曼幾何。黎曼幾何的二個典型特例是球面幾何和雙曲幾何。

[13] 費利克斯·豪斯道夫（Felix Hausdorff, 1868~1942），德國數學家。他是拓撲學的創始人之一，並且對集合論和泛函分析都貢獻不少。他定義和研究偏序集、豪斯道夫空間和豪斯道夫維度，證明豪斯道夫極大定理 (Hausdorff maximality theorem)。他也以筆名Paul Mongré出版哲學和文學作品。

[14] 理查森(L. F. Richardson, 1881～1953年）為英國物理學家和心理學家。 二十歲跟從湯姆遜（J. J. Thomson）在國王學院學習物理，四十七歲又從倫敦大學獲得心理學學位。數值天氣預報的創始者。對戰爭與人類心理的關係特別感興趣。涉獵極廣，凡物理、數學、流力、氣象、海洋、心理學，皆有極端新奇而深刻的貢獻。

[15] 此句出自《莊子天下篇》。一尺長的木杖今天取其一半，明天取其一半的一半，後天再取其一半的一半的一半，如是“日取其半”，總有一半留下，所以“萬世不竭”。一尺之捶是一有限的物體，但它卻可以被無限次分割下去。此句講的是有限和無限的統一，莊子利用簡單的推理表達了『有限之中隱藏著​​無限』的觀念，而此觀念正是當代碎形幾何學的基礎。

[16] 康托爾(Ｇ. Cantor, 1845-1918）德國數學家，集合論的創始人，他在1872年利用有理數的「基本序列」概念定義了無理數，從而建立了嚴格的實數理論；1874年發表第一篇關於無窮集合的文章，他集合論對於十九世紀末、二十世紀初的數學基礎產生了深遠的影響，並滲透到各數學分支，成為分析理論、測度論、 拓撲學及數理科學中必不可缺之理論。

[17]  Sierpinski Gasket和Carpet的圖案是由波蘭著名的數學家 Waclaw Sierpinski 於 1916 年所提出。

[18] Koch曲線是一個數學曲線，同時也是早期被描述的一種碎形曲線。它發表在瑞典數學家Helge von Koch於1904年的一篇文章《從初等幾何構造的一條沒有切線的連續曲線》之中。

[19] David Bohm是現代全息理論之父，不僅是響譽當代的美國量子物理學家，同時也是哲學家、思想家，深受愛因斯坦及印度哲學家克里希穆那提的影響。他在傳統量子力學哥本哈根學派駕馭整個量子物理學界之時，迫使科學家重新他們的觀點及研究方法。其代表著作為《The Undivided Universe》，Routledge, London, 1993.

[20] 天人合一，或稱天人合德、天人相應，是中國古代的一種哲學思想，儒、道、釋三家均有闡述。最早起源於春秋戰國時期，漢朝董仲舒引申為天人感應之說，程朱理學引申為天理之說。

[21] 生物學家張穎清教授所創立，是研究全息胚生命現象的科學，是生物學的一個重要分支。

[22] A. Aspect, Dalibard, G. Roger: "Experimental test of Bell's inequalities using time-varying analyzers" Physical Review Letters 49, 1804 (20 Dec. 1982).

[23] 全像攝影術是1947年由英國匈牙利裔物理學家丹尼斯-蓋伯(Gábor Dénes，1900~1979)，所發明，他因此項工作獲得了1971年的諾貝爾物理學獎。

[24] 『雲端運算』是一種將日常資訊、工具及程式放到網際網路上的資源利用新方式，正因為所有資訊都被放置到網路的虛擬空間裡，因此稱之為雲端。使用者可以透過任何連上網的終端裝置，隨時隨地接受郵件、或分享圖文資訊。

[25] 無門慧開禪師（1183~1260年），杭州錢塘人，生於宋孝宗淳熙十年。慧開禪師因為苦參「無」字話頭而開悟，因此特別著重「無」字法門，他將歷代禪宗重要的公案斟選彙編，選擇其中的四十八則，纂集成為「無門關」一書，其中第十九則即是有名的禪詩：『春有百花秋有月，夏有涼風冬有雪，若無閒事掛心頭，便是人間好時節』。

[26] 仁王般若經卷上：『九十剎那為一念，一念中，一剎那經九百生滅』。

[27] 人與宇宙的關係—人是宇宙的縮影：http://blog.udn.com/ming3508/4621929#ixzz1eR7nvKEP.

[28] 王海僑、鍾建華，《地質全息理論探討》，『地球科學進展』期刊，第23卷第3期，2008年3月。

[29] 量子色動力學(Quantum Chromodynamics，簡稱QCD)是一個描述夸克膠子之間強相互作用的標準動力學理論，它是粒子物理標準模型的一個基本組成部分，也是規範場論的一個成功運用，它所對應的規範群是非阿貝爾的SU(3)群，群量子數被稱為「顏色」或者「色荷」。每一種夸克有三種顏色，對應著SU(3)群的基本表示。膠子是作用力的傳播者，有八種，對應著SU(3)群的伴隨表示。這個理論的動力學完全由它的SU(3)規範對稱群決定。